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高中数学试题
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设函数. (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)当a≠0时,求f(x)的单...
设函数
.
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)当a≠0时,求f(x)的单调区间;
(3)当a=2时,对任意的正整数n,在区间
上总有m+4个数使得f(a
1
)+f(a
2
)+f(a
3
)+…+f(a
m
)<f(a
m+1
)+f(a
m+2
)+f(a
m+3
)+f(a
m+4
)成立,试求正整数m的最大值.
(1)求导函数,确定函数的单调性,进而可求f(x)的极值; (2)求导函数,利用导数的正负,分类讨论,即可确定函数的单调区间; (3)当a=2时,,求出函数的最值,问题转化为恒成立. 令,且f(k)在上单调递增,由此可求正整数m的最大值. 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).…(1分) 当a=0时,,∴.…(2分) 由f'(x)=0得. f(x),f'(x)随x变化如下表: x f(x) - + f'(x) ↘ 极小值 ↙ 故,,没有极大值.…(4分) (2)由题意, 令f'(x)=0得,.…(6分) 若a>0,由f'(x)≤0得;由f'(x)≥0得.…(7分) 若a<0,①当a<-2时,,或,f'(x)≤0;,f'(x)≥0, ②当a=-2时,f'(x)≤0 ③当-2<a<0时,或,f'(x)≤0;,f'(x)≥0. 综上,当a>0时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为; 当a<-2时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为; 当-2<a<0时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为…(10分) (3)当a=2时,. ∵,∴f'(x)≥0 ∴,.…(12分) 由题意,恒成立. 令,且f(k)在上单调递增, ∴,因此,而m是正整数,故m≤32, 所以,m=32时,存在,am+1=am+2=am+2=am+4=8时,对所有n满足题意,∴mmax=32.
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考点分析:
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已知函数
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在定义域上是奇函数;
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*
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2
的大小关系.
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已知点(1,
)是函数f(x)a
x
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n
}的前n项和为f(n)-c,数列{b
n
}(b
n
>0)的首项为c,且前n项和S
n
满足s
n
-s
n-1
=
+
(n≥2).
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)若数列{c
n
}的通项c
n
=b
n
,求数列{c
n
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n
;
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}前n项和为T
n
,问T
n
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)的周期为π,且图象上一个最低点为
.
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(Ⅱ)当
,求f(x)的最值.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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