Question

已知直线x-y+=0经过椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点B和一个焦点F．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆C上动点，求||PF|-|PB||的取值范围，并求||PF|-|PB||取最小值时点P的坐标．

Answer

（1）根据直线x-y+=0，可得B（0，1），F（，0），即以b=1，c=，进而可得椭圆的离心率；
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，当且仅当|PF|=|PB|时，||PF|-|PB||=0，当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，由此可得||PF|-|PB||的取值范围是[0，2]；根据|PF|=|PB|，可得点P的坐标．
【解析】
（1）依题意，B（0，1），F（，0），所以b=1，c=…（2分），
所以…（3分），
所以椭圆的离心率…（4分）．
（2）0≤||PF|-|PB||≤|BF|，当且仅当|PF|=|PB|时，||PF|-|PB||=0…（5分），
当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，||PF|-|PB||=|BF|…（6分），|BF|=2，
所以||PF|-|PB||的取值范围是[0，2]…（7分）．
设P（m，n），由|PF|=|PB|得m+n+1=0…（9分），
代入椭圆方程，消去n可得13m2+8m=0，∴m=0或m=-
m=0时，n=-1；m=-时，n=…（11分），
∴所求点P为p（0，-1）和P（-，）…（12分）．