Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

Answer

（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有，化简得an+1=3an （n≥2），要使n≥1时{an}是等比数列，只需，从而得出t的值．
（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，故有 ，从而得到，用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ．
（3）由条件求得，计算可得c1c2=-1＜0，再由cn+1-cn＞0可得，数列{cn}递增，由，得当n≥2时，cn＞0，由此求得数列{cn}的“积异号数”为1．
【解析】
（1）由题意可得，当n≥2时，有，（1分）
两式相减，得 an+1 -an =2an，即an+1=3an （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时{an}是等比数列，
则只需，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，∴．（5分）
∴，（6分）
∴，①（7分）
上式两边乘以3得②，（8分）
①-②得，（9分）
∴．（10分）
（3）由（2）知，∵，
∵，，∴c1c2=-1＜0．（11分）
∵，∴数列{cn}递增．（12分）
由，得当n≥2时，cn＞0．（13分）
∴数列{cn}的“积异号数”为1．（14分）