Question

设数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项均为正数，其n项和T_n，且T₃=15又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n；
（III）求数列{a_nb_n}的前n项和P_n．

Answer

（Ⅰ）再写一式，两式相减，可得{an}是首项为1，公比为3的等比数列，从而可得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用T3=15又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求出数列的首项与公差，从而可求Tn；
（III）利用错位相减法，可求数列{anbn}的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）∵an+1=2Sn+1，∴当n≥2时，an=2Sn-1+1，
两式相减，整理可得an+1=3an，
又a1=1，a2=2S1+1=3=3a1，
所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
故an=3n-1．
（Ⅱ）设数列{bn}的公差为d，则d＞0．
由T3=15得b2=5．
又a1=1，a2=3，a3=9，∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，∴d=2，∴b1=3，
∴Tn=3n+=n2+2n；
（III）由an=3n-1，bn=1+2n，所以anbn=（1+2n）×3n-1，
故，
∴
两式相减得，=-2n•3n，
∴．