Question

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有    ．（填上所有正确命题的序号） 
（1）动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
（2）三棱锥A′-FED的体积有最大值；
（3）恒有平面A′GF⊥平面BCED；
（4）异面直线A′E与BD不可能互相垂直．

Answer

由△ABC为正三角形可探讨过A'作面ABC的垂线的垂足的位置在AF上，从而可以得到①②③，通过举反例否定④，即可的答案．
【解析】
过A′作A'H⊥面ABC，垂足为H，
∵△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交
∴AG⊥DE A′G⊥DE，
又∵AG∩A′G=G
∴DE⊥面A′GA，
∵DE⊂面ABC，
∴面A′GF⊥面ABC且面A′GA∩面ABC=AF
∴H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故①对③对．
S三棱锥A′-FED=S△EFD•A′H，
∵底面面积是个定值，
∴当A′H为A′G时，三棱锥的面积最大，故②对；
在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故④不对
故答案为：（1）（2）（3）．