Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nlog₂（a_n-1），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer

（1）由Sn=2an+n-4，可得Sn-1=2an-1+（n-1）-4，两式相减可得an-1=2（an-1-1），故数列{an-1}为等比数列，由此可求；
（2）由（1）可得，然后分两部分求和，一部分错位相减，一部分等差数列的求和公式，即可得答案．
【解析】
（1）∵Sn=2an+n-4，∴Sn-1=2an-1+（n-1）-4
∴an=2an-2an-1+1，从而an=2an-1-1即an-1=2（an-1-1）
∴数列{an-1}为等比数列
又a1=S1=2a1-3，故a1=3
因此
∴
（2）由（1）可得
记
∴
两式相减可得：
=
∴
∴