Question

已知函数f（x）=kx，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：．

Answer

（1）由g'（x）＞0，解得x的范围，就是函数的增区间．
（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为，得到 k≥．
（3）先判断 ＜ （x≥2），得 ＜，
用放缩法证明＜1，即得要证的不等式．
【解析】
（1）∵（x＞0），∴，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函数的单调递增区间为（0，e）．
（2）由，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．
又，令．
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：

x （0，） （，+∞）
h'（x） + -
h（x） ↗ ↘

由表知当时，函数h（x）有最大值，且最大值为，因此k≥．
（3）由 ≤，∴＜ （x≥2），
∴＜．
又∵＜=
1-+++…+=1-＜1，
∴＜．