Question

设函数x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1），易得函数在所求点的斜率．
（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．
（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．
【解析】
（1）当，
故f'（1）=-1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（2分）

（2）f'（x）=-x2+2x+m2-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1-m），且f（1-m）=，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．（6分）

（3）由题设，，
∴方程有两个相异的实根x1，x2，
故，∵m＞0
解得m，（8分）
∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，
故x2＞．（10分）
①当x1≤1＜x2时，f（1）=-（1-x1）（1-x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，
②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，
则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2-＜0，
解得，
∵由上m，
综上，m的取值范围是（，）．（14分）