Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-1，当n≥3，n∈N^*时，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得n≥k时，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4对任意实数λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点、、（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．

Answer

（1）构造新数列，利用叠加法，即可确定数列{an}的通项公式；
（2）先求和，进而将不等式等价变形，利用不等式对任意实数λ∈[0，1]恒成立，可得不等式组，从而可得结论；
（3）由题意，三点满足方程y=2x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜＜，从而对应垂直平分线的斜率k1＜k2＜0，故对应垂直平分线不可能相交于x轴，由此可得结论．
【解析】
（1）n≥3，n∈N*时，设，则=
∴bn=b3+（b4-b3）+…+（bn-bn-1）=b3+3（-）
∵，∴
∵a2=-1，∴=
∴bn=+3（-）=（n≥3）
∴an=2n-5（n≥3）
n=2时，满足上式；n=1时，不满足上式
∴；
（2）Sn=
当n=1时，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4可化为λ≥，不满足条件；
当n≥2时，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4可化为2（2n-1）λ+n2-6n+5≥0
令f（λ）=2（2n-1）λ+n2-6n+5，则f（λ）≥0对任意实数λ∈[0，1]恒成立
∴，∴，∴n≤1或n≥5
∴满足条件的k的最小值为5；
（3）由题意，三点满足方程y=2x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜＜
∴对应垂直平分线的斜率k1＜k2＜0
∴对应垂直平分线不可能相交于x轴
∴x轴上不存在定点A，使得三点、、（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等．