Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求证：AC⊥BC₁．

Answer

（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，根据D是AB的中点，E是BC1的中点，可知DE∥AC1，而DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，根据线面平行的判定定理可知AC1∥平面CDB1；
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三边长AC，BC，AB满足勾股定理则AC⊥BC，又侧棱垂直于底面ABC，则CC1⊥AC，又BC∩CC1=C，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC1，又BC1⊂平面BCC1，根据线面垂直的性质可知AC⊥BC1．
【解析】
（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，（1分）
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1，（3分）
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，（5分）
∴AC1∥平面CDB1（6分）

（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC，①（7分）
又侧棱垂直于底面ABC，
∴CC1⊥AC②（8分）
又BC∩CC1=C③
由①②③得∴AC⊥面BCC1（10分）
又BC1⊂平面BCC1，∴AC⊥BC1；（12分）