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如图,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,A...

如图,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB的中点.
(1)求证:AE⊥平面PBC;
(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

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(1)建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,求得•=0,•=0,即可证得结论; (2)确定平面PCD、平面PBC的法向量,利用向量的夹角公式可得结论.  (1)证明:根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系, A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,3,0),P(0,0,1),E(,0,), ∴=(,0,),=(0,1,0), =(-1,0,1). ∴•=0,•=0, 所以⊥,⊥. 所以AE⊥BC,AE⊥BP. 因为BC,BP⊂平面PBC,且BC∩BP=B, 所以AE⊥平面PBC.               (2)【解析】 设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则•=0,•=0. 因为=(-1,2,0),=(0,3,-1),所以. 令x=2,则y=1,z=3. 所以=(2,1,3)是平面PCD的一个法向量.              …8分 因为AE⊥平面PBC,所以平面PBC的法向量. 所以cos<,>==. 根据图形可知,二面角B-PC-D的余弦值为-.          …10分
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考点分析:
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在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,CP是圆O的切线,P为切点,直线CO交圆O于A,B两点,AD⊥CP,垂足为D.
求证:∠DAP=∠BAP.
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(1)求a,b的值;(2)求矩阵A的逆矩阵A-1
C.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C:ρ=4cosθ被直线l:ρsin(θ-\frac{π}{6})=a截得的弦长为2manfen5.com 满分网求实数a的值.
D.选修4-5:不等式选讲已知a,b是正数,求证:a2+4b2manfen5.com 满分网≥4.

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已知数列{an}的首项a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:manfen5.com 满分网=3n2an+manfen5.com 满分网,an≠0,n≥2,n∈N*
(1)若数列{an}是等差数列,求a的值;
(2)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是递增数列.
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(1)求函数f (x)的单调区间;
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(3)有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点C,D,若四边形ABCD为菱形,求t的值.
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在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为manfen5.com 满分网,右准线为l:x=4.M为椭圆上不同于A,B的一点,直线AM与直线l交于点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若manfen5.com 满分网,判断点B是否在以PM为直径的圆上,并说明理由;
(3)连接PB并延长交椭圆C于点N,若直线MN垂直于x轴,求点M的坐标.

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经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E=kv3t,其中v为鲑鱼在静水中的速度,t为行进的时间(单位:h),k为大于零的常数.如果水流的速度为3km/h,鲑鱼在河中逆流行进100km.
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(2)v为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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