Question

已知抛物线C：y=2x²，直线：y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．

Answer

把y=kx+2代入y=2x2，利用韦达定理，确定N的坐标，从而可得抛物线在点N处的切线l的方程，进而可证明切线l的与k相等，即可得到结论．
证明：如图，设A（x1，2），B（x2，2），

把y=kx+2代入y=2x2得：2x2-kx-2=0，
由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=-1，所以xN=xM==，
即N点的坐标为（）．
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-=m（x-），
将y=2x2代入上式得：2x2-mx+-=0，
因为直线l与抛物线C相切，所以△=m2-8（-）=m2-2mk+k2=（m-k）2=0，
所以m=k，即l∥AB．