Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer

（1）利用勾股定理证明AC⊥BC，证明C1C⊥底面ABC，可得AC⊥CC1 ，由线面垂直的判定定理证得AC⊥平面BCC1B1 ，从而证得AC⊥BC1．
（2）设BC1∩B1C=O，由三角形的中位线性质可得OD∥AC1，从而利用线面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．
证明：（1）∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．
又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1 ．
又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1 ．
而BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1 ．
（2）设BC1∩B1C=O，则O为BC1的中点，连接OD，
∵D为AB的中点，∴OD∥AC1，
又∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．