Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）AC₁⊥BD；
（2）平面AC₁D⊥平面A₁BD．

Answer

（1）连接AC，则BD⊥AC．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由C1C⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，知C1C⊥BD，由此能证明AC1⊥BD．
（2）连接AB1，则BA1⊥AB1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由C1B1⊥平面BA1B1，BA1⊂平面BA1B1，知C1B1⊥BA1，由C1B1∩AB1=B1，知BA1⊥平面AC1B1．由此能够证明平面AC1D⊥平面A1BD．
证明：（1）连接AC，则BD⊥AC．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵C1C⊥平面BCD，
BD⊂平面BCD，
∴C1C⊥BD，
又AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，
∴AC1⊥BD．
（2）连接AB1，则BA1⊥AB1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵C1B1⊥平面BA1B1，
BA1⊂平面BA1B1，
∴C1B1⊥BA1，
又C1B1∩AB1=B1，
∴BA1⊥平面AC1B1．
∵AC1⊂平面AC1B1，
∴AC1⊥BA1，
由（1）知AC1⊥BD，且BA1∩BD=B，
∴AC1⊥平面A1BD．
∵AC1⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面A1BD．