Question

双曲线x²-y²=8的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₁₂的值是（ ）
A．8040
B．80484
C．8048
D．8040

Answer

根据题意可求得P1点的横坐标x1（就是右焦点F2的横坐标），利用两点间的距离公式由|Pn+1F2|=|PnF1|可求得xn+1-xn=4，从而利用等差数列的通项公式即可求得x2012的值．
【解析】
∵a2=8，b2=8，
∴c=4，即x1=4，又|Pn+1F2|=|PnF1|，
∴+=+，
即-8xn+1+16+=+8xn+16+，
∴（xn+1+xn）（xn+1-xn-4）=0，
由题意知，xn＞0，
∴xn+1-xn=4，
∴{xn}是以4为首项，4为公差的等差数列，
∴x2012=x1+2011×4=4+8044=8048．
故选C．