Question

如图已知：BA，BC，BB₁两两垂直，BCC₁B₁为矩形，ABB₁N为直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，=（0，0，4），所以=0，=0，由此能够证明BN⊥平面C1B1N．
（II）由BN⊥平面C1B1N，知=（4，4，0）是平面C1B1N的一个法向量，再求出平面CB1N的一个法向量，利用向量法能够求出二面角C-NB1-C1的余弦值．
（III）由M（2，0，0），设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，则，由MP∥平面CNB1，，能求出占点P坐标和BP的长．
【解析】
（I）以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4），
∴，，=（0，0，4），
∴=0，=0，
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，
∵NB1∩B1C1=B1，
∴BN⊥平面C1B1N．

（II）∵BN⊥平面C1B1N，
∴=（4，4，0）是平面C1B1N的一个法向量，
设平面CB1N的一个法向量为，则，，
∴，解得，
设二面角C-NB1-C1的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=，
∴二面角C-NB1-C1的余弦值为．
（III）∵M（2，0，0），设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，
则，
∵MP∥平面CNB1，，
∴=-2+2a=0，解得a=1，
∴在BC上存在一点P（0，0，1），MP∥平面CNB1，且BP=1．