Question

已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于    ．

Answer

设O为四面体ABCD外接球的球心，过A作AH⊥BCD于H，则O在AH上，延长BH交BC于E，连接OB、AE．可算出四面体的高AH=，根据Rt△BOH∽Rt△AEH，得OH==，所以OH=AH=，即球心到平面BCD的距离等于．
【解析】
设O为四面体ABCD外接球的球心，过A作AH⊥BCD于H，则O在AH上
延长BH交BC于E，连接OB、AE
∵等边三角形BCD中，H为中心
∴BE⊥CD且E为CD的中点，可得BE=AH=AB=
∴BH==，得Rt△ABH中，AH==
又∵Rt△BOH∽Rt△AEH
∴=，结合EH==得OH=
∵AO=BO=R，（R是外接球半径）
∴OH=AH=，即球心到平面BCD的距离等于
故答案为：