Question

如图，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

Answer

（1）连接OE，OE∥PA，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面为正方形，可得BD⊥AC，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC⊥平面BDE．
证明：（1）如图，连接OE
∵O为AC中点，E为PC中点．
∴OE为△PAC的中位线
∴OE∥PA
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD为正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD⊂平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE．