Question

定义运算，设函数f（x）=（2x+1）*（x+1），且关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是    ．

Answer

先由新定义得出函数f（x）的解析式，进而画出其图象并求出方程f（x）=m取得三个根的条件，最后再求出x1x2x3的取值范围即可．
【解析】
由定义可知：f（x）=，画出图象如图所示：
∵当x≤0时，f（x）=≥-2；当x＞0时，f（x）=＜0．
∴当-2＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，
不妨设x1＜x2＜x3，则x1，x2是方程的两个根，x3是方程-x2-x=m的正根．
∴，．
∴x1x2x3=（-2＜m＜0）．
令，即1-4m=t2．又∵-2＜m＜0，∴1＜t＜3．
φ（t）=，
则，
∵1＜t＜3，∴φ′（t）＞0，∴函数φ（t）在区间（1，3）上单调递增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜．
∴x1x2x3的取值范围是．
故答案为．