Question

已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是（ ）
A．①③
B．②③
C．①③④
D．①②④

Answer

由f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x）可得周期为2；由f（1+x）=-f（1-x）可得图象关于点（1，0）对称，再由奇函数可得图象关于点（k，0）对称，故直线x=1不可能是对称轴；由周期为2可知，函数f（x）是（0，1）上的增函数仅可推得f（x）在（4，5）上为增函数．
【解析】
①因为奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），所以f（1+x）=-f（1-x）
所以f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），故周期为2，故①正确；
③由奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），还可得f（1+x）=-f（1-x），
即函数的图象关于点（1，0）对称，又奇函数图象关于（0，0）对称，再由周期为2，
可得函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称，故③正确；
②由③可知图象关于点（1，0）对称，故直线x=1不可能是对称轴，故②错误；
④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，由周期为2可知，
f（x）在（4，5）上为增函数，不能推出在（3，5）上的增函数，故④错误．
故选A