(I)取DD1的中点G,连接GA,GE,推导出四边形AFEG为平行四边形,由此能够证明EF∥平面ADD1A1.
(Ⅱ)以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面DEF和平面AEF的法向量,利用向量法能够求出二面角D-EF-A的余弦值.
(I)证明:如图,取DD1的中点G,连接GA,GE,
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1C、AB的中点,
∴GE∥DC∥AB,GE=,
∴GE∥AF,GE=AF,四边形AFEG为平行四边形,
∴EF∥AG,AG⊂平面ADD1A1,EF⊄平面ADD1A1,
∴EF∥平面ADD1A1.
(Ⅱ)【解析】
如图,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设棱长为2,则D(0,0,0),E(0,1,1),F(2,1,0),A(2,0,0),
∴,,,,
设平面DEF的法向量为,则,,
∴,解得,
设平面AEF的法向量,则,,
∴,解得,
设二面角D-EF-A的平面角为θ,
则cosθ=|cos<>|=||=.