Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数成公差为d_n的等差数列（如在a₁与a₂之间插入1个数构成第1个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第2个等差数列，其公差为d₂，…，以此类推），设第n个等差数列的和是A_n，，求T_n．

Answer

（1）an+1=2Sn+2可得an=2Sn-1+2（n≥2），两式相减可得an+1-an=2an然后由等比数列的定义可得；
（2）由公差的定义可得An，进而可得，下面用裂项相消法求解即可．
【解析】
（1）∵an+1=2Sn+2
∴an=2Sn-1+2（n≥2）…（1分）
两式相减可得an+1-an=2an…（2分）
∴…（3分）
在an+1=2Sn+2中令n=1，得a1=2…（5分）
由等比数列的通项公式可得：…（6分）
（2）证明：…（7分）
An=…（8分）
∴…（10分）
∴…（11分）
=…（12分）