Question

已知圆C：（x+l）²+y²=8及点F（l，0），P为圆C上一动点，在同一坐标平面内的动点M满足：．
（I）求动点M的轨迹E的方程；
（II）过点F作直线l与（I）中轨迹E交于不同两点R、S，设，求直线l 的纵截距的取值范围．

Answer

（I）根据，可得动点M的轨迹E是以C，F为左、右焦点的椭圆，由此可得轨迹方程；
（II）①若直线l的斜率为0，不满足；
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入，利用韦达定理，及，即可求得结论．
【解析】
（I）由已知，圆C：（x+1）2+y2=8，则半径为2
∵
∴C，M，P三点共线，且|MC|+|MF|=|MF|+|MP|=|FP|=2
∴动点M的轨迹E是以C，F为左、右焦点的椭圆，且2a=2，c=1
∴动点M的轨迹E的方程为；
（II）①若直线l的斜率为0，则R（-，0），S（，0），F（1，0），
∴，
∴，故直线l的纵截距不可能为0；
②当直线l的斜率不为0时，λ≠-1，设方程为x=ty+1（t≠0），代入，可得（t2+2）y2+2ty-1=0
设R（x1，y1），S（x2，y2）（y1≠0，y2≠0），则y1+y2=-，y1y2=-
∵，∴y1=λy2，∴λ=，λ＜0
∴+2=+2==-
∵λ∈[-2，-1]
∴
∴-≤-≤0
∴0≤t2≤
∴0＜t≤或
∴直线l的纵截距-．