Question

设公比小于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n-1，求数列{b_n}的前n项T_n．

Answer

（Ⅰ）由题设知=-1-q-q2=-3，故q2+q-2=0，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由数列{bn}满足bn=an+2n-1，知Tn=（a1+a2+a3+…+an）+[1+3+5+…（2n-1）]，由此能求出数列{bn}的前n项Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵公比小于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=-1，S3=3a3，
∴=-1-q-q2=-3，
∴q2+q-2=0，解得q=-2，或q=1（舍）．
∴．
（Ⅱ）∵数列{bn}满足bn=an+2n-1，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=（a1+1）+（a2+3）+（a3+5）+…+[an+（2n-1）]
=（a1+a2+a3+…+an）+[1+3+5+…（2n-1）]
=（-1）•+
=-+n2．