Question

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．
（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表Φ（x）=P（x＜x）

Answer

（I）设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上（含90分）的学生有12名，列出大于90分的学生的概率，成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，列出比例式，得到参赛的总人数．
（II）设出设奖的分数，根据获奖的人数和总体的人数得到获奖的概率，在标准正态分布表中查出0.9049对应的x，根据得≈1.31，得到x的值是83.1，即设奖的分数线约为83．
【解析】
（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N（70，100），
由条件知，P（ξ≥90）=1-P（ξ＜90）=1-φ（90）
=1-Φ=1-Φ（2）=1-0.9772=0.228．
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为≈526（人）．
（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则
P（ξ≥x）=1-P（ξ＜x）=1-φ（90）=1-Φ==0.0951，
即Φ=0.9049，查表得≈1.31，
解得x=83.1．
故设奖的分数线约为83．