Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

Answer

根据题意设出点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．
【解析】
根据题意设P的坐标为（t，-t3+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2，
所以切线方程为：y-（-t3+1）=-3t2（x-t），
令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，
所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，
设y=2t2+=2t2++≥3，
当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，
把t=代入得：Smin=．
故答案为：