Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{a_n²}的前n项和为T_n，满足a₁=1，，其中p为常数．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）①是否存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系；若不存在，请说明理由；
②若对于任意的正整数n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，求出实数x，y的值．

Answer

（1）令n=1，代入Tn，求出p的可能取值，经过验证，确定最终的值2．利用an与Sn，an2与Tn的关系，转化，寻求{an}的性质，根据性质求通项．
（2）①假设存在n，m，k（n＜m＜k），列出关系式，探讨有无解或关系②转换成恒成立问题，注意a=1（a≠0）的使用．
【解析】
（1）当n=1时，Tn=，即1=，∴p=0或p=2
当p=0时，Tn=．将n=2代入，得1+a22=．
∴a2=0，或∴与an＞0矛盾．∴p≠0
当p=2时，   ①
将n=2代入，得∴a2=，a2=a1
由①得    ②
②-①得
即3an+12=（4-Sn+1-Sn）an+1
  则3an+1=4-Sn+1-Sn    ③
  则 3an+2=4-Sn+2-Sn+1     ④
④-③，得3an+2-3an+1=-an+2-an+1
an+2=an+1，又a2=a1
∴{an}是等比数列，通项公式an=．
（2）①假设存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得an，am，ak成等差数列，则
 2am=an+ak，即2×=
两边同除以得：2=+  ⑤
由已知n-m≤-1，∴≥2，且＞0
∴⑤式不成立．从而不存在满足条件的n，m，k．
      ②若对于任意的正整数n，都有an，2xan+1，2yan+2成等差数列
  则2x+1an+1=an+2yan+2，根据通项公式，得2x-n+1=21-n+2y-n-1，
两边同除以21-n，得2x=1+2y-2，∴x=1，y=2．