Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（2）设函数，如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．

Answer

（1）由题意知，f'（x）=3ax2+2x-a在区间（1，2）内有不重复的零点，由3ax2+2x-a=0，分离参数，构造新函数，确定其值域，即可求得结论；
（2）存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等价于h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，进而分类讨论，即可求得结论．
【解析】
（1）由题意知，f'（x）=3ax2+2x-a在区间（1，2）内有不重复的零点…（1分）
由3ax2+2x-a=0，得a（3x2-1）=-2x…（2分）
∵3x2-1≠0，∴…（3分）
令，…（4分）
故在区间（1，2）上是增函数，其值域为，
∴a的取值范围是…（6分）
（2）∵h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，
由已知得：h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0…①…（7分）
当x=-1时，不等式①成立…（8分）
当-1＜x≤b时，不等式①化为：ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②…（9分）
令φ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函数φ（x）的图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又φ（-1）=-4a＞0…（10分）
∴不等式②恒成立的充要条件是φ（b）≥0，即ab2+（2a+1）b+（1-3a）≥0，，
∵这个关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
∴，即，∴b2+b-4≤0…（11分）
∴，又b＞-1，故…（12分）
从而，此时唯有a=-1符合条件…（14分）