Question

如图，设斜率为的直线l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若弦AB中点P的坐标为（，2），F为其右焦点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若F点到直线l的距离为，求△FAB的面积．

Answer

（1）设出A，B的坐标，利用点差法，可求得，从而可求椭圆的离心率；
（2）利用F点到直线l的距离为，确定椭圆的方程，从而可求△FAB的面积．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点P的坐标为（，2）
∴x1+x2=-5，y1+y2=4
∵直线l的斜率为，∴=
∵A，B在椭圆上，
∴，
两式相减可得：+=0
∴+=0
∴，∴
∴；
（2）由（1）设a=5k，b=4k，则c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直线l的方程为y-2=（x+），即4x-5y+20=0
∵F点到直线l的距离为，∴=，∴k=1
∴椭圆方程为
∵直线l过椭圆上顶点（0，4）与左顶点（-5，0）
∴|AB|=
∴S△FAB=．