Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，F在A₁B₁上．
（1）若DE⊥CF，求A₁F的长；
（2）求二面角C-C₁D-E的余弦值．

Answer

（1）以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，可得D、E、C1、C各点的坐标，从而得到和的坐标，设A1F=x，得=（2，x-2，2）．DE⊥CF，利用垂直向量的数量积为零建立关于x的方程组，解之即可得到A1F的长；
（2）设平面DEC1的一个法向量为，由与建立关于x1、y1、z1的方程组，并取x1=2，得，再根据平面DCC1的一个法向量为，计算出向量、夹角的余弦之值，即可得到二面角C-C1D-E的余弦值．
解  （1）以D点为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
D（0，0，0），E（1，2，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），，，
设A1F=x，得F（2，x，2），=（2，x-2，2），
当DE⊥CF时，，即2+2（x-2）=0，
解之得x=1，所以A1F的长为1．   …（5分）
（2）设平面DEC1的一个法向量为，
由得2y1+2z1=0，
再由得x1+2y1=0，
令y1=-1得x1=2，z1=1，所以平面DEC1的一个法向量为．                            …（7分）
易得平面DCC1的一个法向量为，…（8分）
设二面角C-C1D-E的平面角为θ，则=，
所以二面角C-C1D-E的余弦值为． …（10分）