Question

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表达式；
（II）求证：当x＞1时，．

Answer

（I）利用待定系数法，设出函数解析式，根据对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立，建立方程，即可求得函数解析式；
（II）构造函数g（x）=，证明函数在g（x）在（1，+∞）上单调递增，由此可证不等式．
（I）【解析】
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x2，
∴2ax+b=a（x+1）2+b（x+1）+c+x2，
∴2ax+b=（1+a）x2+（2a+b）x+a+b+c
∵对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立．
∴
∴a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x2+1；
（II）证明：令g（x）==
∴g′（x）=-2x-+4x2=
∵x＞1，∴g′（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（1）=0
∴＞0
∴当x＞1时，．