已知函数f（x）=lnx （Ⅰ）若函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不...

已知函数f（x）=lnx manfen5.com 满分网

（Ⅰ）若函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于 manfen5.com 满分网

，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，若存在x∈[1，2]，不等式|a+3x|-xf′（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（III）已知k∈R，讨论关于x的方程f（x）+mx= manfen5.com 满分网

在区间[2，4]上的实根个数（e≈2.71828）

（I）先求导函数，然后将函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于转化成f′（x）≥tan=在（0，+∞）上恒成立，利用参数分离法可求出m的取值范围；（II）根据绝对值不等式的性质化简不等式，然后利用参数分离法将a分离，最后利用存在性问题的常用方法进行求解即可；（III）将k分离，然后利用导数研究函数的单调性，得到函数的最值，利用数形结合法可求出根的个数．【解析】（I）∵f（x）=lnx（x＞0） ∴f′（x）=+3x-m ∵函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于， ∴f′（x）=+3x-m≥tan=在（0，+∞）上恒成立即m≤+3x-在（0，+∞）上恒成立，而+3x-在（0，+∞）上的最小值为 ∴m≤ （II）当m=2时，f′（x）=+3x-2 不等式|a+3x|-xf′（x）＜0即为不等式|a+3x|-x（+3x-2）＜0 化简得不等式|a+3x|＜3x2-2x+1 即-3x2+2x-1＜a+3x＜3x2-2x+1 ∴存在x∈[1，2]，使得不等式-3x2-x-1＜a＜3x2-5x+1成立即（-3x2-x-1）min＜a＜（3x2-5x+1）max 即-15＜a＜3 （III）∵f（x）+mx= ∴lnx+= 即k=lnx+x2-x 令g（x）=lnx+x2-x（x∈[2，4]）则g′（x）=+x-== 当x∈[2，3）时，g′（x）＜0，当x∈（3，4]时，g′（x）＞0 ∴函数g（x）在[2，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增则当x=3时函数g（x）取最小值g（3）=ln3-，而g（2）=ln2-2，g（4）=ln4- ∴当k＜ln3-或k＞ln4-时方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数为0 当k=ln3-或ln2-2＜k＜ln4-时方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数为1 当ln3-＜k≤ln2-2时方程f（x）+mx=在区间[2，4]上的实根个数为2

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考点分析：

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某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①f（x）=p•q^x；
②f（x）=px²+qx+1；
③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p、q均为常数，且q＞1）
（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（Ⅱ）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推）；
（Ⅲ）为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

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已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表达式；
（II）求证：当x＞1时， manfen5.com 满分网