Question

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，S_n=b₁+b₂+…b_n，求使  成立的正整数n的最小值．

Answer

（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） =2n-n，求出Sn=b1+b2+…bn，再利用，建立不等式，即可求得使成立的正整数n的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项
∴
由 ①得 q2-3q+2=0，解得q=1或q=2．
当q=1时，不合题意舍；
当q=2时，代入（2）得a1=2，所以an=2n．…．…（6分）
（Ⅱ） =2n-n．…．…（7分）
所以Sn=b1+b2+…bn=（2+22++2n）-（1+2+…+n）=2n+1-2--n2 …．…（10分）
因为 ，所以2n+1-2--n2-2n+1+47＜0，
即n2+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．…．…（12分）
故使成立的正整数n的最小值为10．…．（13分）