Question

已知抛物线x²=4y的焦点是椭圆 一个顶点，椭圆C的离心率为，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为．
（1）求椭圆C和圆O的方程；
（2）已知M（x，y）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer

（1）确定抛物线焦点坐标，可得b的值，利用椭圆C的离心率为，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为，即可求椭圆C和圆O的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，计算斜率的积为-1，即可证得结论．
（1）【解析】
由x2=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵，∴，∴a2=4，
∴，
∴椭圆C的方程为，圆O的方程为x2+y2=5
（2）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2
若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y=k（x-x），
由得
即
则
化简得
又，
∴
设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足，
∴，
∴l1⊥l2