设A在B的左边,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立坐标系,由题意可得双曲线方程为-=1.再设C(m,n),得
|CA|2=(m+2)2+n2,化简得|CA|2=m2+4m+,最后根据m的取值范围结合二次函数的单调性,可求得|CA|的最小值.
【解析】
∵动点C满足|CA|-|CB|=3,且|AB|=4>3
∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支
设A在B的左边,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立坐标系,可得
A(-2,0),B(2,0),设双曲线方程为-=1(a>0,b>0)
∴a=,c=2,得b==,双曲线方程为-=1
设C(m,n),得|CA|2=(m+2)2+n2=(m+2)2+(m2-1)=m2+4m+
∵C点横坐标m,
∴当且仅当m=时,|CA|2的最小值为,得|CA|的最小值是
故选:C