Question

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本生产成本）；销售收入R（x）（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．
（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
（3）求赢利最多时每台产品的售价．

Answer

（1）根据利润=销售收入-总成本，列出解析式；要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，分0≤x≤5时和x＞5时分别求解即可；
（2）分别求出0≤x≤5时和x＞5时f（x）的最大值，取最大的即可．
（3）由（2）的结论直接求解．
【解析】
依题意，G（x）=x+2，设利润函数为f（x），则
f（x）=R（x）-G（x）=
（1）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，当0≤x≤5时，
解不等式-0.4x2+3.2x-2.8＞0．
即x2-8x+7＜0．
∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）
当x＞5时，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴5＜x＜8.2．
综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．（4分）
（2）0≤x≤5时，f（x）=-0.4（x-4）2+3.6，
故当x=4时，f（x）有最大值3.6．．（6分）
而当x＞5时，f（x）＜8.2-5=3.2所以，当工厂生产400万台产品时，赢利最多．（8分）
（3）由（2）知，当x=4时利润最高，此时售价为=2.4（万元/百台）=240元/台．（12分）