Question

对于数列{a_n}，（n∈N₊，a_n∈N₊），若b_k为a₁，a₂，…，a_k中最大值（k=1，2，…n），则称数列{b_n}为数列{a_n}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7；由此定义，下列说法正确的有   
①递减数列{a_n}的“凸值数列”是常数列；
②不存在数列{a_n}，它的“凸值数列”还是{a_n}本身；
③任意数列{a_n}的“凸值数列”是递增数列；
④“凸值数列”为1，3，3，9，的所有数列{a_n}的个数为3．

Answer

：①根据“凸值数列”的定义，可得递减数列{an}的“凸值数列”为a1，a1，…，a1；
②常数列{an}，它的“凸值数列”还是{an}本身；
③递减数列{an}的“凸值数列”是常数列；
④写出“凸值数列”为1，3，3，9的所有数列{an}，即可得到结论．
【解析】
①根据“凸值数列”的定义，可得递减数列{an}的“凸值数列”为a1，a1，…，a1，∴是常数列，∴①正确；
②常数列{an}，它的“凸值数列”还是{an}本身，∴②不正确；
③递减数列{an}的“凸值数列”是常数列，∴③不正确；
④“凸值数列”为1，3，3，9的所有数列{an}为1，3，1，9；1，3，2，9，；1，3，3，9，个数为3，∴④正确．
故答案为①④