Question

已知函数f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x）．
①f（x）的单调减区间是；
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足
其中假命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

由f（x）=x3-2x2-4x-7，知f′（x）=3x2-4x-4，令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x，x2=2．列表讨论，知①错误，②正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正确；由f（x）=x3-2x2-4x-7，知函数f（x）不满足，故④不正确．
【解析】
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴f′（x）=3x2-4x-4，
令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x，x2=2．
列表讨论

 x  （-∞，-） -  （-，2）  2 （2，+∞） 
 f′（x） -  0 -  0 +
 f（x） ↓   ↓  极小值 ↑

∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞），
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-（3a2-4a-4）（x-a）
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴函数f（x）不满足，
故④不正确，
故选C．