Question

已知函数f（x）=（k²-klnx）e^x（y为非零常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥（1+a）x-e^xlnx+b（b＞0），求（a+1）b的最大值．

Answer

（1）对f（x）进行求导，根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，可以得f′（1）=0，代入求得k值，再利用导数研究函数的单调性；
（2）把已知的f（x）的解析式代入不等式f（x）≥（1+a）x-exlnx+b，将问题转化为h（x）=ex-（a+1）x-b≥0，恒成立即可，对h（x）进行求导，对a+1与1的大小进行讨论求解；
【解析】
（1）∵函数f（x）=（k2-klnx）ex，
∴f′（x）=（k2-klnx-）ex，
由题意知f′（1）=0，解得k=1或k=0（舍去）
所以f（x）=（1-lnx）ex，f（x）=（1-lnx-）ex，
设g（x）=1-lnx-，则g（x）=-+=
于是g（x）在区间（0，1）内为增函数，在（1，+∞）内为减函数，
所以g（x）在x=1处取得极大值，且g（1）=0；
所以g（x）≤0，故f'（x）≤0所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．----（4分）
（Ⅱ） f（x）≥（1+a）x-exlnx+b⇔h（x）=ex-（a+1）x-b≥0--（6分）
得h'（x）=ex-（a+1）
①当a+1＜1时，h'（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，
∴h（x）＞h（0）=1-b≥0，所以0＜b≤1．
此时（a+1）b＜1．----（7分）
②当a+1=1时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在R上单调递增，
h（x）＞h（0）=1-b≥0，可得b≤1，此时（a+1）b最大值为1；
③当a+1＞1时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h′（x）＜0，
⇔x＜ln（a+1），
所以当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0
（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2 ln（a+1）（a+1＞1）
令a+1=t，t＞1
设F（t）=t2-t2lnt（t＞1）
则F′（t）=t（1-2lnt）
F′（t）＞0，⇔1＜t＜，F′（t）＜0
⇔t＞e，
当t=e时，F（t）max=，
综上当时，（a+1）b的最大值为---（12分）