Question

已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m； ③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．
其中正确的命题是    ．

Answer

本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．
【解析】
∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；
∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；
∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；
∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．
故答案为：①④