Question

设函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）若a₁=2，试比较a₂与a₃的大小；
（2）若0＜a₁＜1，求证：0＜a_n＜1对任意n∈N^*恒成立．

Answer

（1）直接利用函数f（x）=x-sinx，数列{an}满足an+1=f（an），可得a3-a2＜0，从而可得结论；
（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．
（1）【解析】
a1=2时，a2=f（2）=2-sin2∈（0，2），所以sina2＞0，
所以a3-a2=-sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）
（2）证明：①n=1时，结论成立；
②设n=k时，0＜ak＜1，则当n=k+1时，ak+1-ak=-sinak＜0，即ak+1＜ak＜1，（6分）
当x∈（0，1）时，f'（x）=1-cosx＞0，
即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以ak+1=f（ak）＞f（0）=0，即0＜ak+1＜1
即n=k+1时，结论成立，
综上可得，当0＜a1＜1时，0＜an＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）