Question

函数f（x）=log_a（x²-4ax+3a²），0＜a＜1，当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer

利用对数函数的单调性，将问题转化为a≤（x-3a）（x-a）≤对x∈[a+2，a+3]恒成立，利用最值法，建立不等式组，从而可求a的取值范围．
【解析】
f（x）=loga（x2-4ax+3a2）=loga（x-3a）（x-a）
∵|f（x）|≤1恒成立，
∴-1≤loga（x-3a）（x-a）≤1                   …（2分）
∵0＜a＜1．
∴a≤（x-3a）（x-a）≤对x∈[a+2，a+3]恒成立．…（5分）
令h（x）=（x-3a）（x-a），其对称轴x=2a．
又2a＜2，2＜a+2，
∴当x∈[a+2，a+3]时，h（x）min=h（a+2），h（x）max=h（a+3）．…（8分）
∴∴ 
∴．…（12分）