Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数
（1） 求f（1），f（-1）的值；
（2） 求证：f（-x）=f（x）；
（3） 解关于x的不等式：．

Answer

（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=-1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（-1）
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式变为f（2x-1）≤f（-1），由（2）的结论知函数是一偶函数，由函数在区间（0，+∞）上的递增函数，即可得到关于x的不等式．
【解析】
（1）令，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0（3分）
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0（6分）

（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（-x）=f（x）（10分）

（3）据题意可知，
f（2）+f（x-）=f（2x-1）≤0
∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1（13分）
∴0≤x＜或＜x≤1（15分）