(1)由f(x)=sinx+cosx=2f′(x),可求得tanx,将转换为即可求得答案;
(2)利用导数公式与三角函数间的关系式将F(x)化为F(x)=1+sin(2x+),利用正弦函数的性质即可求其最大值和最小正周期.
【解析】
(1)∵f(x)=sinx+cosx=f′(x),
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx,
∴cosx=3sinx,
∴tanx=,
∴====.
(2)∵f′(x)=cosx-sinx,
∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+sin(2x+).
∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,F(x)max=1+,最小正周期T==π.