Question

已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，
（I）若3+4+5=，求cos∠BOC的值；
（II）若•=•，求的值．

Answer

（I）设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O为三角形的外心，得到||=||=||=R，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos∠BOC的值；
（II）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．
【解析】
（Ⅰ） 设外接圆半径为R，由3+4+5=得：4+5=-3，
平方得：16R2+40•+25R2=9R2，即•=-R2，
则cos∠BOC=-；                    
（Ⅱ）∵=，
∴=，
即：=，
可得：-R2cos2A+R2cos2B=-R2cos2C+R2cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1-2sin2A）=2-（2sin2B+2sin2C），
∴2sin2A=sin2B+sin2C，
∴利用正弦定理变形得：2a2=b2+c2，
∴=2．