由奇函数定义结合比较系数法,可得f(x)是奇函数时c=0,故①正确;当b=0时,得f(x)=x|x|+c在R上为单调增函数,方程f(x)=0只有一个实根,故②正确;利用函数图象关于点对称的定义,可证得函数f(x)图象关于点(0,c)对称,故③正确;取b=1,c=0时,利用函数单调性可证出方程f(x)=0只有一个实根,故④错.
【解析】
对于①,若f(x)是奇函数,则f(-x)=-x|x|-bx+c=-f(x)对任意x∈R恒成立,可得c=0,故①正确;
对于②,b=0时,得f(x)=x|x|+c在R上为单调增函数,且值域为R,所以方程f(x)=0有且只有一个实根,故②正确;
对于③,因为f(-x)=-x|x|-bx+c,所以f(-x)+f(x)=2c,可得函数f(x)的图象关于点(0,c)对称,故③正确;
对于④,当b=1,c=0时,f(x)=x|x|+x在R上为增函数,此时方程f(x)=0有且只有一个实根,故④错.
故答案为:①②③