(1)先求导,看其f′(x)在某区间上是大于0、还是小于0.即可判断出单调区间.
(2)已知问题⇔对任意实数x恒成立⇔,x∈R.解出即可.
(3)对x分x=0 与x∈(0,2]讨论,对x∈(0,2]可转化为:当x∈(0,2]时,若∃x∈(0,2],f(x)<0,⇔∃x∈(0,2],.求出即可.
【解析】
(1)∵函数(a∈R),∴f′(x)=-x2+2x+a.
当a=3时,f′(x)=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3).
当x∈(-∞,-1)或(3,+∞)时,f′(x)<0;当x∈(-1,3)时,f′(x)>0.
∴函数f(x)在区间(-∞,-1)或(3,+∞)上单调递减;在区间(-1,3)上单调递增.
(2)∵f′(x)=-x2+2x+a,∴函数f(x)在其图象上任意一点(x,f(x))处切线的斜率为,
由题意可知:对任意的实数x,恒成立.
即对任意实数x恒成立⇔,x∈R.
令φ(x)=,则φ(x)=≤1,∴=1.
∴2a2-a>1,
解得a>1,或a<.
∴a的取值范围是(-∞,)∪(1,+∞).
(3)①当x=0时,f(0)=0,∵0<0不可能,此时不存在a满足要求;
②当x∈(0,2]时,若∃x∈(0,2],f(x)<0,⇔∃x∈(0,2],.
∵φ(x)==,∴φ(x)在区间(0,)单调递减,在区间单调递增,但是φ(0)=0>φ(2),故φ(x)在区间(0,2]上无最大值.
经验证a=0 时适合题意.
∴a≤0.