(1)由导数法先求极值,即可得最值;
(2)把问题转化为求函数F(x)=,x∈[,2]的最大值的问题,由导数法可得答案;(3)结合等差数列和等比数列的和的特点,根据定积分所得的值,可得数列{an},{bn}的通项公式.
【解析】
(1)由题意可得f′(x)=gx-1,令gx-1=0,可得x=0,
并且当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
故在x=0处,函数f(x)取到唯一的极小值也是最小值f(0)=1
(2)由题意可得:不等式f(x)>ax即为(a+1)x<gx,
若M={x|},且M∩P≠∅,则a+1在[,2]的最大值,
令F(x)=,x∈[,2],则F′(x)==0,解得x=1,
且当x∈(,1),时,F′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,2)时,F′(x)>0,f(x)单调递增,故F(x)在x=1处取到极小值,也是最小值e,
F()=2,F(2)=,而且2<,故最大值为,即a+1,故a-1
(3)S=(gx-x)=(gn-n)-(g-0)=gn-n-1,
不妨取an=-1,bn=(g-1)gn-1,则有=a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=-n+=gn-n-1,故满足题意.