Question

有四个关于三角函数的命题：
P₁：∃x∈R，sinx+cosx=2；                        P₂：∃x∈R，sin2x=sinx；
；    P₄：∀x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命题是（ ）
A．P₁，P₄
B．P₂，P₃
C．P₃，P₄
D．P₂，P₄

Answer

根据三角函数的值域，可得命题P1是假命题；根据特殊角的三角函数值，可得命题P2是真命题而命题P4是假命题；根据二倍角的余弦公式化简，并结合余弦的符号，得到命题P3是真命题．由此得到本题的答案．
【解析】
因为sinx+cosx=sin（x+），所以sinx+cosx的最大值为，
可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命题P1是假命题；
因为存在x=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命题P2是真命题；
因为=cos2x，所以，结合x∈[-，]得cosx≥0
由此可得，得命题P3是真命题；
因为当x=时，sinx=cosx=，不满足sinx＞cosx，
所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命题P4是假命题．
故选：B