(Ⅰ)根据an+1=Sn+1-Sn,求得an+1=2an+3,整理可得判断出数列an+3是等比数列,进而利用等比数列的通项公式求得an+3进而求得an.
(Ⅱ)把(1)中的an代入bn中,进而利用错位相减法和等差数列的求和公式求得前n项的和.
(Ⅲ)设存在s,p,r∈N*,且s<p<r,使得as,ap,ar成等差数列,根据等差中项的性质可知2ap=as+ar,利用(1)中的an展开得2p+1=2s+2r,2p-s+1=1+2r-s,进而根据2p-s+1,2r-s为偶数,而1+2r-s为奇数,判断出假设不成立.故可知不存在这样的三项.
【解析】
(Ⅰ)因为Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3(n+1),
则an+1=2an+1-2an-3,所以an+1=2an+3,,
数列an+3是等比数列,a1=S1=3,a1+3=6,an+3=6•2n-1=3•2n,
所以an=3•2n-3.
(Ⅱ),Tn=2+2•22+3•23++n•2n-(1+2++n),
令Tn′=2+2•22+3•23++n•2n,①2Tn′=22+2•23+3•24++(n-1)•2n+n•2n+1,②
①-②得,-Tn′=2+22++2n-n•2n+1=-2(1-2n)-n•2n+1,Tn′=2+(n-1)•2n+1,
所以.
(Ⅲ)设存在s,p,r∈N*,且s<p<r,使得as,ap,ar成等差数列,则2ap=as+ar,即2(3•2p-3)=3•2s-3+3•2r-3
即2p+1=2s+2r,2p-s+1=1+2r-s,2p-s+1,2r-s为偶数,而1+2r-s为奇数,
所以2p+1=2s+2r不成立,故不存在满足条件的三项.